, так как вы также считаете
аюсь сделать некоторый анализ над простымFraction
класс, и я хочу, чтобы некоторые данные, чтобы сравнить этот тип сdoubles
.
Точно знаю, я ищу хороший способ получить плотность фракций между 2 числами. Дроби в основном 2 целых числа (например,pair< long, long>
), а плотность междуs
а такжеt
это количество представимых чисел в этом диапазоне. И это должно быть точное или очень хорошее приближение, выполненное в O (1) или очень быстрое.
Чтобы сделать это немного проще, скажем, я хочу, чтобы все числа (не дроби) a / b между s и t, где 0 <= s <= a / b <t <= M, и 0 <= a, b < = M (b> 0, a и b - целые числа)
примерЕсли бы мои дроби были типом данных, который считается только до 6 (M = 6), и я хочу, чтобы плотность была от 0 до 1, ответ был бы 12. Эти числа:
0, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6.
Что я уже думалВесьма наивный подход - циклически проходить все возможные дроби и подсчитывать те, которые нельзя упростить. Что-то вроде:
long fractionsIn(double s, double t){
long density = 0;
long M = LONG_MAX;
for(int d = 1; d < floor(M/t); d++){
for(int n = ceil(d*s); n < M; n++){
if( gcd(n,d) == 1 )
density++;
}
}
return density;
}
Ноgcd()
очень медленно, поэтому он не работает. Я тоже пытаюсь заниматься математикой, но ничего хорошего не получаю.
Благодаря ответу @ m69, я сделал этот код дляFraction = pair<Long,Long>
:
//this should give the density of fractions between first and last, or less.
double fractionsIn(unsigned long long first, unsigned long long last){
double pi = 3.141592653589793238462643383279502884;
double max = LONG_MAX; //i can't use LONG_MAX directly
double zeroToOne = max/pi * max/pi * 3; // = approx. amount of numbers in Farey's secuence of order LONG_MAX.
double res = 0;
if(first == 0){
res = zeroToOne;
first++;
}
for(double i = first; i < last; i++){
res += zeroToOne/(i * i+1);
if(i == i+1)
i = nextafter(i+1, last); //if this happens, i might not count some fractions, but i have no other choice
}
return floor(res);
}
Главное изменение заключается в следующем, что важно для больших чисел (1e17)
РезультатКак я объясняю в начале, я пытался сравнитьFractions
с участиемdouble
, Вот результат дляFraction = pair<Long,Long>
(а такжеВот как я получил плотность двойников)
Density between 0,1: | 1,2 | 1e6,1e6+1 | 1e14,1e14+1 | 1e15-1,1e15 | 1e17-10,1e17 | 1e19-10000,1e19 | 1e19-1000,1e19
Doubles: 4607182418800017408 | 4503599627370496 | 8589934592 | 64 | 8 | 1 | 5 | 0
Fraction: 2.58584e+37 | 1.29292e+37 | 2.58584e+25 | 2.58584e+09 | 2.58584e+07 | 2585 | 1 | 0