У меня есть ряд вопросов, в которых мне нужны отзывы и ответы. Я прокомментирую то, что я думаю, это не домашнее задание, а скорееpreparation для моего экзамена.

Моя главная проблема - определение итераций цикла для разных случаев. Как бы попытаться понять это?

Оцените время выполнения.

Q2.

 for(int i =0 ; i < =n ; i++) // runs n times
   for(int j =1; j<= i * i; j++) // same reasoning as 1. n^2
      if (j % i == 0)
         for(int k = 0; k<j; k++) // runs n^2 times? <- same reasoning as above.
            sum++;

Correct Answer: N × N2 × N = O(N^4)

На следующие вопросы у меня нет правильных ответов.

Q3. а)

     int x=0; //constant
     for(int i=4*n; i>=1; i--) //runs n times, disregard the constant
         x=x+2*i;

Мой ответ: O (n)

б) Для простоты предположим, что n = 3 ^ k

    int z=0;
    int x=0;
    for (int i=1; i<=n; i=i*3){ // runs n/3 times? how does it effect final answer?
       z = z+5;
       z++;
       x = 2*x;
    }

Мой ответ: O (n)

в) Для простоты предположим, что n = k ^ 2,

   int y=0; 
   for(int j=1; j*j<=n; j++) //runs O(logn)?  j <= (n)^1/2
   y++; //constant

Мой ответ: O (logn)

г)

  int b=0; //constant
  for(int i=n; i>0; i--) //n times
    for(int j=0; j<i; j++) // runs n+ n-1 +...+ 1. O(n^2) 
      b=b+5;

Мой ответ: O (n ^ 3)

(Е)

 int y=1;
 int j=0;
 for(j=1; j<=2n; j=j+2) //runs n times
    y=y+i;
 int s=0;
 for(i=1; i<=j; i++) // runs n times
 s++;

Мой ответ: O (n)

(Е)

 int b=0;
 for(int i=0; i<n; i++) //runs n times
   for(int j=0; j<i*n; j++) //runs n^2 x n times? 
      b=b+5;

Мой ответ: O (n ^ 4)

(g) Для простоты предположим, что n = 3k для некоторого натурального числа k.

   int x=0;
   for(int i=1; i<=n; i=i*3){  //runs 1, 3, 9, 27...for values of i. 
     if(i%2 != 0) //will always be true for values above
      for(int j=0; j<i; j++) // runs n times
        x++;
    }

Мой ответ: O (n x log base 3 n?)

(h) Предположим для простоты, что n = k2 для некоторого натурального числа k.

   int t=0;
   for(int i=1; i<=n; i++) //runs n times
      for(int j=0; j*j<4*n; j++) //runs O(logn)
         for(int k=1; k*k<=9*n; k++) //runs O(logn)
            t++;

Мой ответ: n x logn x log n = O (n log n ^ 2)

(i) Для простоты предположим, что n = 2s, для некоторого натурального числа s.

   int a = 0;
   int k = n*n;
     while(k > 1) //runs n^2
     {
       for (int j=0; j<n*n; j++) //runs n^2
          { a++; }
        k = k/2;
    }

Мой ответ: O (n ^ 4)

(К)

  int i=0, j=0, y=0, s=0;
  for(j=0; j<n+1; j++) //runs n times
     y=y+j; //y equals n(n+1)/2 ~ O(n^2)
  for(i=1; i<=y; i++) // runs n^2 times
     s++;

Мой ответ: O (n ^ 3)

(k) int i=1, z=0; while( z < n*(n+1)/2 ){ //arithmetic series, runs n times z+=i; i++; }

Мой ответ: O (n)

(m) Для простоты предположим, что n = 2s, для некоторого натурального числа s.

  int a = 0;
  int k = n*n*n;
  while(k > 1) //runs O(logn) complexity
   {
     for (int j=0; j<k; j++) //runs n^3 times
      { a--; }
     k = k/2; 
    }

Мой ответ: O (n ^ 3 log n)

Question 4

http://i.stack.imgur.com/zMkt7.jpg

a) True - since its bounded below by n^2 b) False - f(n) not strictly smaller than g(n) c) True d) True -bounded by n^10 e) False - f(n) not strictly smaller than g(n) f) True g) True h) false - since does not equal O(nlogn) i) true j) not sure k) not sure l) not sure - how should i even attempt these?*

Заранее спасибо.