Estoy tratando de hacer un análisis sobre un simpleFraction clase y quiero algunos datos para comparar ese tipo condoubles.

El problema

Bien, sé que estoy buscando una buena manera de obtener la densidad de fracciones entre 2 números. Las fracciones son básicamente 2 enteros (p. Ej.pair< long, long>), y la densidad entres yt es la cantidad de números representables en ese rango. Y debe ser una aproximación exacta, o muy buena, realizada en O (1) o muy rápida.

Para hacerlo un poco más simple, digamos que quiero todos los números (no fracciones) a / b entre syt, donde 0 <= s <= a / b <t <= M, y 0 <= a, b < = M (b> 0, a y b son enteros)

Ejemplo

Si mis fracciones fueran de un tipo de datos que solo cuentan hasta 6 (M = 6), y quiero la densidad entre 0 y 1, la respuesta sería 12. Esos números son:

0, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6.

Lo que ya pensaba

Un enfoque muy ingenuo sería recorrer todas las fracciones posibles y contar las que no pueden simplificarse. Algo como:

long fractionsIn(double s, double t){
    long density = 0;
    long M = LONG_MAX;
    for(int d = 1; d < floor(M/t); d++){
        for(int n = ceil(d*s); n < M; n++){
            if( gcd(n,d) == 1 )
                density++;
        }
    }
    return density;
}

Perogcd() es muy lento, por lo que no funciona. También trato de hacer algunas matemáticas pero no pude llegar a nada bueno.

Solución

Gracias a la respuesta @ m69, hice este código paraFraction = pair<Long,Long>:

//this should give the density of fractions between first and last, or less.
double fractionsIn(unsigned long long first, unsigned long long last){
    double pi = 3.141592653589793238462643383279502884;
    double max = LONG_MAX;  //i can't use LONG_MAX directly
    double zeroToOne = max/pi * max/pi * 3; // = approx. amount of numbers in Farey's secuence of order LONG_MAX. 
    double res = 0;

    if(first == 0){
        res = zeroToOne;
        first++;
    }

    for(double i = first; i < last; i++){
        res += zeroToOne/(i * i+1);
        if(i == i+1)
            i = nextafter(i+1, last);   //if this happens, i might not count some fractions, but i have no other choice
    }

    return floor(res);
}

El cambio principal es el siguiente, que es importante con números grandes (1e17)

El resultado

Como expliqué al principio, estaba tratando de compararFractions condouble. Aquí está el resultado paraFraction = pair<Long,Long> (yaquí cómo obtuve la densidad de dobles):

Density between 0,1:                | 1,2              | 1e6,1e6+1   | 1e14,1e14+1 | 1e15-1,1e15 | 1e17-10,1e17 | 1e19-10000,1e19 | 1e19-1000,1e19
Doubles:        4607182418800017408 | 4503599627370496 | 8589934592  | 64          | 8           | 1            | 5               | 0
Fraction:       2.58584e+37         | 1.29292e+37      | 2.58584e+25 | 2.58584e+09 | 2.58584e+07 | 2585         | 1               | 0