Estou tentando fazer alguma análise sobre um simplesFraction classe e eu quero alguns dados para comparar esse tipo comdoubles.

O problema

Certo, sei que estou procurando uma boa maneira de obter a densidade de frações entre 2 números. As frações são basicamente 2 números inteiros (por exemplo,pair< long, long>) e a densidade entres et é a quantidade de números representáveis nesse intervalo. E precisa ser uma aproximação exata ou muito boa feita em O (1) ou muito rápida.

Para simplificar um pouco, digamos que eu queira todos os números (não frações) a / b entre se et, onde 0 <= s <= a / b <t <= M e 0 <= a, b < = M (b> 0, aeb são números inteiros)

Exemplo

Se minhas frações fossem de um tipo de dados que conta apenas até 6 (M = 6) e eu quero a densidade entre 0 e 1, a resposta seria 12. Esses números são:

0, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6.

O que eu já pensei

Uma abordagem muito ingênua seria percorrer todas as frações possíveis e contar aquelas que não podem ser simplificadas. Algo como:

long fractionsIn(double s, double t){
    long density = 0;
    long M = LONG_MAX;
    for(int d = 1; d < floor(M/t); d++){
        for(int n = ceil(d*s); n < M; n++){
            if( gcd(n,d) == 1 )
                density++;
        }
    }
    return density;
}

Masgcd() é muito lento e não funciona. Também tento fazer algumas contas, mas não consegui nada de bom.

Solução

Graças à resposta @ m69, criei este código paraFraction = pair<Long,Long>:

//this should give the density of fractions between first and last, or less.
double fractionsIn(unsigned long long first, unsigned long long last){
    double pi = 3.141592653589793238462643383279502884;
    double max = LONG_MAX;  //i can't use LONG_MAX directly
    double zeroToOne = max/pi * max/pi * 3; // = approx. amount of numbers in Farey's secuence of order LONG_MAX. 
    double res = 0;

    if(first == 0){
        res = zeroToOne;
        first++;
    }

    for(double i = first; i < last; i++){
        res += zeroToOne/(i * i+1);
        if(i == i+1)
            i = nextafter(i+1, last);   //if this happens, i might not count some fractions, but i have no other choice
    }

    return floor(res);
}

A principal mudança é a seguir, o que é importante com grandes números (1e17)

O resultado

Como explico no começo, eu estava tentando compararFractions comdouble. Aqui está o resultado paraFraction = pair<Long,Long> (eaqui como consegui a densidade de duplas):

Density between 0,1:                | 1,2              | 1e6,1e6+1   | 1e14,1e14+1 | 1e15-1,1e15 | 1e17-10,1e17 | 1e19-10000,1e19 | 1e19-1000,1e19
Doubles:        4607182418800017408 | 4503599627370496 | 8589934592  | 64          | 8           | 1            | 5               | 0
Fraction:       2.58584e+37         | 1.29292e+37      | 2.58584e+25 | 2.58584e+09 | 2.58584e+07 | 2585         | 1               | 0