Estou tentando validar a entrada do usuário, que é apenas números separados por vírgulas. Eu gostaria de fazer isso com o RegEx, mas não consigo encontrar a expressão correta.

Deve validar as seguintes strings (e maiores):

1
12
123
1,234
12,345
123,456

e invalidar as seguintes strings (e mais loucas):

1,1
1,12
12,1
12,12
123,1
123,1

Qualquer ajuda seria muito apreciada.

Aqui está o que eu tentei até agora (EDIT: que não funcionam), juntamente com várias variantes ->

^(((\d{1,3},)*\d{3})|(\d{1,3}))$
^(\d{1,3}[,])*\d{3}|\d{1,3}$