Regex para el número separado por comas

Estoy tratando de validar las entradas del usuario, que son solo números separados por comas. Me gustaría hacer esto con RegEx, pero no puedo encontrar la expresión correcta.

Debe validar las siguientes cadenas (y más grandes):

1
12
123
1,234
12,345
123,456

e invalida las siguientes cadenas (y más locas):

1,1
1,12
12,1
12,12
123,1
123,1

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Esto es lo que he intentado hasta ahora (EDIT: que no funciona), junto con varias variantes ->

^(((\d{1,3},)*\d{3})|(\d{1,3}))$
^(\d{1,3}[,])*\d{3}|\d{1,3}$

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