Регулярное выражение для числа с запятой

Я пытаюсь проверить пользовательский ввод, который является просто числами, разделенными запятыми. Я хотел бы сделать это с RegEx, но не могу придумать правильное выражение.

Следует проверить следующие строки (и больше):

1
12
123
1,234
12,345
123,456

и сделать недействительными следующие строки (и безумнее):

1,1
1,12
12,1
12,12
123,1
123,1

Любая помощь будет принята с благодарностью.

Вот что я пробовал до сих пор (РЕДАКТИРОВАТЬ: которые не работают), а также несколько вариантов ->

^(((\d{1,3},)*\d{3})|(\d{1,3}))$
^(\d{1,3}[,])*\d{3}|\d{1,3}$

Ответы на вопрос(1)

Ваш ответ на вопрос