Regex für kommagetrennte Zahlen

Ich versuche, Benutzereingaben zu validieren, bei denen es sich nur um durch Kommas getrennte Zahlen handelt. Ich würde das gerne mit RegEx machen, kann mir aber nicht den richtigen Ausdruck einfallen lassen.

Es sollte die folgenden Zeichenfolgen (und größer) validieren:

1
12
123
1,234
12,345
123,456

und ungültig machen die folgenden Zeichenfolgen (und verrückter):

1,1
1,12
12,1
12,12
123,1
123,1

Jede Hilfe wäre sehr dankbar.

Hier ist, was ich bisher ausprobiert habe (BEARBEITEN: was nicht funktioniert), zusammen mit mehreren Varianten ->

^(((\d{1,3},)*\d{3})|(\d{1,3}))$
^(\d{1,3}[,])*\d{3}|\d{1,3}$

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