A maneira mais fácil de fazer um envio de formulário sem atualização

Eu tenho tentado criar uma calculadora simples. Usando o PHP, eu consegui obter os valores dos campos de entrada e pular os menus do POST, mas é claro que o formulário é atualizado após o envio.

Usando Javascript, tentei usar

function changeText(){
document.getElementById('result').innerHTML = '<?php echo "$result";?>'

mas isso continuaria dando uma resposta de "0" depois de clicar no botão porque não foi possível obter valores do POST, pois o formulário não havia sido enviado.

Então, eu estou tentando descobrir a maneira mais fácil de fazê-lo via ajax ou algo semelhante

ou para obter os valores selecionados nos menus de salto com JavaScript.

Li alguns exemplos do ajax on-line, mas eles são bastante confusos (não estão familiarizados com o idioma)

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