Estou apenas aprendendo o MySQL - existe uma maneira de combinar (ou aninhar) funções agregadas?

Dada uma consulta:

SELECT user, count(answer) FROM surveyValues WHERE study='a1' GROUP BY user;

Isso me dará o número de perguntas respondidas por cada usuário. O que eu realmente quero é o número médio de perguntas respondidas por usuário ... algo como:

SELECT avg(count(answer)) FROM surveyValues WHERE study='a1';

Qual é a maneira correta de calcular essa estatística?

Se isso for possível, existe uma maneira de decompor essa estatística para cada pergunta? (os usuários podem responder à mesma pergunta várias vezes). Algo como:

SELECT avg(count(answer)) FROM surveyValues WHERE study='a1' GROUP BY question;