Os functores aplicáveis são bem conhecidos e amados entre os Haskellers, por sua capacidade de aplicar funções em um contexto eficaz.

Em termos teóricos da categoria, pode ser demonstrado que os métodos deApplicative:

pure :: a -> f a
(<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

são equivalentes a ter umFunctor f com as operações:

unit :: f ()
(**) :: (f a, f b) -> f (a,b)

a ideia é que escreverpure você acabou de substituir o() nounit com o valor fornecido e escrever(<*>) você esmaga a função e o argumento em uma tupla e mapeia uma função de aplicação adequada sobre ela.

Além disso, essa correspondência transforma oApplicative leis em leis naturais mono-ish sobreunit e(**), portanto, de fato, um functor aplicativo é precisamente o que um teórico de categorias chamaria de functor monoide laxista (lax porque(**) é apenas uma transformação natural e não um isomorfismo).

Ok, ótimo, ótimo. Isso é bem conhecido. Mas essa é apenas uma família de funcionadores monoidais relaxados - aqueles que respeitam a estrutura monoidal doprodutos. Um functor monoidal relaxado envolve duas opções de estrutura monoidal, na origem e no destino: eis o que você obtém se transformar o produto em soma:

class PtS f where
  unit :: f Void
  (**) :: f a -> f b -> f (Either a b)

-- some example instances
instance PtS Maybe where
  unit = Nothing
  Nothing ** Nothing = Nothing
  Just a ** Nothing = Just (Left a)
  Nothing ** Just b = Just (Right b)
  Just a ** Just b = Just (Left a) -- ick, but it does satisfy the laws

instance PtS [] where
  unit = []
  xs ** ys = map Left xs ++ map Right ys

Parece que transformar soma em outras estruturas monoidais se torna menos interessante porunit :: Void -> f Void sendo determinado de maneira exclusiva, então você realmente tem mais semigrupos. Mas ainda:

Outros funcionamentos monoidais relaxados, como o descrito acima, são úteis ou úteis?Existe uma apresentação alternativa elegante para eles, como oApplicative 1?