Аппликативные функторы хорошо известны и любимы среди хаскеллеров за их способность применять функции в эффективном контексте.

В терминах теории категорий можно показать, что методыApplicative:

pure :: a -> f a
(<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

эквивалентны наличиюFunctor f с операциями:

unit :: f ()
(**) :: (f a, f b) -> f (a,b)

идея заключается в том, чтобы написатьpure вы просто замените() вunit с заданным значением, и написать(<*>) Вы помещаете функцию и аргумент в кортеж, а затем сопоставляете подходящую функцию приложения.

Более того, эта переписка превращаетApplicative законы в естественные моноидальные законы оunit а также(**)так что на самом деле аппликативный функтор - это именно то, что теоретик категорий назвал бы слабым моноидальным функтором (потому что(**) это просто естественное преобразование, а не изоморфизм).

Хорошо, отлично, отлично. Это хорошо известно. Но это только одно семейство слабых моноидальных функторов - тех, которые уважают моноидальную структурутовар, Слабый моноидальный функтор включает в себя два варианта моноидальной структуры, в источнике и в пункте назначения: вот что вы получите, если превратить продукт в сумму:

class PtS f where
  unit :: f Void
  (**) :: f a -> f b -> f (Either a b)

-- some example instances
instance PtS Maybe where
  unit = Nothing
  Nothing ** Nothing = Nothing
  Just a ** Nothing = Just (Left a)
  Nothing ** Just b = Just (Right b)
  Just a ** Just b = Just (Left a) -- ick, but it does satisfy the laws

instance PtS [] where
  unit = []
  xs ** ys = map Left xs ++ map Right ys

Кажется, что превращение суммы в другие моноидальные структуры становится менее интереснымunit :: Void -> f Void быть однозначно определенным, так что у вас действительно происходит больше полугруппы. Но до сих пор:

Являются ли другие слабые моноидальные функторы такими же, как описанные выше, или они полезны?Есть ли для них аккуратная альтернативная презентация, такая какApplicative один?