Siguiendo con esta pregunta:Mostrar TODAS las categorías a las que pertenece un producto en Magento

¿Hay alguna forma de mostrar la ruta de la categoría completa (con enlaces en cada etapa) en lugar de mostrar solo la categoría final a la que pertenece un producto?

Tengo este código hasta ahora ...

<?php
            $currentCatIds = $_product->getCategoryIds();
            $categoryCollection = Mage::getResourceModel('catalog/category_collection')
                 ->addAttributeToSelect('name')
                 ->addAttributeToSelect('url')
                 ->addAttributeToFilter('entity_id', $currentCatIds)
                 ->addIsActiveFilter();
            foreach($categoryCollection as $cat){
            ?>
                <a href="<?php echo $cat->getUrl(); ?>">
                    <?php echo $cat->getName() ?>
                </a>
            <?php } ?>

Que vincula correctamente el nombre de la categoría que se muestra en la página. Lo que me gustaría es mostrar la ruta completa Cat> Sub Cat> Sub Sub Cat y tener cada elemento en esa ruta correctamente vinculado.