¿Es posible actualizar un solo div con jQuery? Tengo un botón que cierra la sesión de un usuario. Después de hacer clic en el botón, quiero mostrar el formulario de inicio de sesión, por lo que necesito volver a analizar este div.

El contenido de mi div es este:

<div id="signup" class="register">

    <?php
        $email = $_COOKIE['email'];
        $login = $_COOKIE['login'];

        if($email != null && $email != "" && $login != null && $login != "") {
            echo "<h3>you are logged in as <b>$email</b></h3><br><br><button id='logoutbtn' class='submitButton'>Logout</button>";
        } else {
            // show login form
        }
    ?>

</div>

Esta es mi parte de JavaScript donde realizo el cierre de sesión:

$('#logoutbtn').click(function () {    
    $.ajax({  
        type: "POST",  
        url: "php/logout.php",  
        async: false,
        success: function(data){
            // reload signup div
        } 
    });  
});

Edición: mi script logout.php elimina las cookies, por eso necesito volver a analizar el archivo de registro.