Conexión MySQL remota en PHP

Estoy empezando a migrar un proyecto de software de una aplicación de escritorio a una aplicación web. Actualmente estoy usando una conexión local de PHP / MySQL que está asociada con el escritorio en el que está instalado.

Espero desenredar esto y estoy tratando de crear una base de datos MySQL a través de mi cuenta 1and1. No tuve problemas para crear una base de datos y grabé la información de mi cuenta. Me gustaría poder editar esta base de datos utilizando scripts PHP en mi sistema. Sin embargo, no he podido hacer funcionar una cadena de conexión. Cuando ejecuto el siguiente script PHP:

$hostname="db*********.db.1and1.com";
$database="db*********";
$username="dbo*********";
$password="*********";

$link = mysql_connect($hostname, $username, $password);

Recibo el siguiente error cuando ejecuto el script en mi navegador web:

Warning: mysql_connect() [function.mysql-connect]: Unknown MySQL server host 'db*********.db.1and1.com' (11001) in C:\Program Files\xampp\htdocs\Remote_MySQL\rightbid_database_initialize.php on line 74
Connection failed: Unknown MySQL server host 'db*********.db.1and1.com' (11001)

¿Cómo puedo hacer que mi sistema local reconozca el host del servidor 1and1? ¿Estoy estructurando mi cadena de conexión correctamente? ¿Es posible acceder a un servidor remoto desde una conexión PHP de Windows alojada localmente?

¡Gracias!

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