я есть начальная точка в трехмерных координатах, например, (0,0,0).

У меня есть направление, которое я указываю, представленное тремя углами - по одному на каждый угол поворота (вращение в X, вращение в Y, вращение в Z) (для примера давайте предположим, что я один из тех старых черепах с логотипом) с ручкой) и расстояние, которое я буду путешествовать в направлении, которое я указываю.

Как мне рассчитать координаты конечной точки?

Я знаю, что для 2D-системы это было бы просто:

new_x = old_x + cos(angle) * distance
new_y = old_y + sin(angle) * distance

но я не могу понять, как применить это к 3 измерениям

Я полагаю, что другой способ думать об этом - попытаться найти точку на поверхности сферы, зная направление, на которое вы указываете, и радиус сферы.