Dada uma amostra do MultiIndex:

idx = pd.MultiIndex.from_product([[0, 1, 2], ['a', 'b', 'c', 'd']])    
df = pd.DataFrame({'value' : np.arange(12)}, index=idx)

df

     value
0 a      0
  b      1
  c      2
  d      3
1 a      4
  b      5
  c      6
  d      7
2 a      8
  b      9
  c     10
  d     11

Como posso converter isso de maneira eficiente em um formato tabular?

   a  b   c   d
0  0  1   2   3
1  4  5   6   7
2  8  9  10  11

Além disso, dado o quadro de dados acima, como posso trazê-lo de volta ao seu estado multi-indexado original?

O que eu tentei:

pd.DataFrame(df.values.reshape(-1, df.index.levels[1].size), 
             index=df.index.levels[0], columns=df.index.levels[1])

O que funciona para o primeiro problema, mas não sei como trazê-lo de volta ao original a partir daí.