Se alguém usa Bloodhound com GET:

// Typeahead
personsBloodhound = new Bloodhound({
    datumTokenizer: function (person) { return person.name; },
    queryTokenizer: Bloodhound.tokenizers.whitespace,
    remote: {
        url: '/ajax/Persons/List?nameContains=%QUERY',
        ajax: {
            beforeSend: function(xhr) {
                $(".searching-person").show();
            },
            data: {
                "pageSize": 4,
                "otherParam1": "blah",
                "otherParam2": "bleh",
            }
        },
        filter: function (response) {
            $(".searching-person").hide();
            return response.persons;
        }
    }
});

Basta usar% QUERY no URL.

Agora....
Se alguém usa Bloodhound com POST, o que devo usar em vez de% QUERY?

// Typeahead
personsBloodhound = new Bloodhound({
    datumTokenizer: function (person) { return person.name; },
    queryTokenizer: Bloodhound.tokenizers.whitespace,
    remote: {
        url: '/ajax/Persons/List',
        ajax: {
            type: "POST",
            beforeSend: function(xhr) {
                $(".searching-person").show();
            },
            data: {
                "nameContains": ....WHAT GOES HERE?????......
                "pageSize": 4,
                "otherParam1": "blah",
                "otherParam2": "bleh",
            }
        },
        filter: function (response) {
            $(".searching-person").hide();
            return response.persons;
        }
    }
});

Se não ficou claro, a questão é:
Qual é o equivalente de%QUERY ao usar o POST no controle remoto do Bloodhound?

A documentação não está clara sobre isso, (prova):https://github.com/twitter/typeahead.js/blob/master/doc/bloodhound.md#remote

Também tentei usar:

 "nameContains": $("#my-input-that-uses-typeahead").val(),

Mas não funcionou.