Si uno usa Bloodhound con GET:

// Typeahead
personsBloodhound = new Bloodhound({
    datumTokenizer: function (person) { return person.name; },
    queryTokenizer: Bloodhound.tokenizers.whitespace,
    remote: {
        url: '/ajax/Persons/List?nameContains=%QUERY',
        ajax: {
            beforeSend: function(xhr) {
                $(".searching-person").show();
            },
            data: {
                "pageSize": 4,
                "otherParam1": "blah",
                "otherParam2": "bleh",
            }
        },
        filter: function (response) {
            $(".searching-person").hide();
            return response.persons;
        }
    }
});

Uno simplemente usa% QUERY en la URL.

Ahora....
Si uno usa Bloodhound con POST, ¿qué debo usar en lugar de% QUERY?

// Typeahead
personsBloodhound = new Bloodhound({
    datumTokenizer: function (person) { return person.name; },
    queryTokenizer: Bloodhound.tokenizers.whitespace,
    remote: {
        url: '/ajax/Persons/List',
        ajax: {
            type: "POST",
            beforeSend: function(xhr) {
                $(".searching-person").show();
            },
            data: {
                "nameContains": ....WHAT GOES HERE?????......
                "pageSize": 4,
                "otherParam1": "blah",
                "otherParam2": "bleh",
            }
        },
        filter: function (response) {
            $(".searching-person").hide();
            return response.persons;
        }
    }
});

Si no estaba claro, la pregunta es:
¿Cuál es el equivalente de%QUERY cuando usas POST dentro del control remoto de Bloodhound?

La documentación no es clara sobre esto, (prueba):https://github.com/twitter/typeahead.js/blob/master/doc/bloodhound.md#remote

También intenté usar:

 "nameContains": $("#my-input-that-uses-typeahead").val(),

Pero no funcionó.