Eu gostaria de lidar com erros do Guzzle quando o servidor retorna códigos de status 4xx e 5xx. Eu faço um pedido como este:

$client = $this->getGuzzleClient();
$request = $client->post($url, $headers, $value);
try {
    $response = $request->send();
    return $response->getBody();
} catch (\Exception $e) {
    // How can I get the response body?
}

$e->getMessage retorna informações de código, mas não o corpo da resposta HTTP. Como posso obter o corpo da resposta?