Eu tenho um webapp para iPad com a meta tag:

<meta name="apple-mobile-web-app-capable" content="yes">

Quando abro o aplicativo a partir da página inicial (versão com capacidade para aplicativos da web) ou digito o endereço no Mobile Safari, o conteúdo do localStorage é diferente. Confirmei que os endereços são idênticos ao imprimir location.href.

Todas as alterações feitas ao localStorage durante o uso do Mobile safari são refletidas na versão com capacidade para aplicativos da web, mas as alterações feitas na versão com capacidade para aplicativos da web não são refletidas na versão do Mobile Safari.

Os domínios são idênticos, o localStorage deve ser idêntico. O que anda acontecendo no mundo? Isso pode ser corrigido?

Atualização - Solução: Após a sugestão # 2 da resposta aceita (forçando o usuário a estar no modo de tela cheia), adicionei esse código:

if(("standalone" in window.navigator) && !window.navigator.standalone)
    window.location = "instructions.html";

Portanto, se você estiver usando um navegador que suporte o modo autônomo e não estiver no modo independente, redirecione para uma página (instructions.html) que mostre ao usuário como adicionar o aplicativo à tela inicial.

Obrigado a todos pela sua contribuição!