Tengo una aplicación web para iPad con la etiqueta meta:

<meta name="apple-mobile-web-app-capable" content="yes">

Cuando abro la aplicación desde la página de inicio (versión con capacidad de aplicación web) o escribo la dirección en Mobile Safari, el contenido de localStorage es diferente. He confirmado que las direcciones son idénticas al imprimir location.href.

Todos los cambios realizados en localStorage durante el uso de Mobile safari se reflejan en la versión compatible con la aplicación web, pero los cambios realizados en la versión compatible con la aplicación web no se reflejan en la versión Mobile Safari.

Los dominios son idénticos, localStorage debe ser idéntico. ¿Qué sucede? ¿Se puede arreglar esto?

Actualización - Solución: Siguiendo la sugerencia # 2 de la respuesta aceptada (forzando al usuario a estar en modo de pantalla completa), agregué este bit de código:

if(("standalone" in window.navigator) && !window.navigator.standalone)
    window.location = "instructions.html";

Entonces, si está utilizando un navegador que admite el modo independiente y no está en el modo independiente, rediríjalo a una página (instructions.html) que muestra al usuario cómo agregar la aplicación a la pantalla de inicio.

¡Gracias a todos por su aporte!