Quando você passa o mouse sobre um cartãoTrello e pressioneCtrl+C, o URL deste cartão é copiado para a área de transferência. Como eles fazem isso?

Tanto quanto eu posso dizer, não há filme Flash envolvido. eu tenhoFlashblock instalado e a guia da rede do Firefox não exibe nenhum filme do Flash carregado. (Esse é o método usual, por exemplo, do ZeroClipboard.)

Como eles conseguem essa mágica?

(Neste exato momento, acho que tive uma epifania: você não pode selecionar texto na página, então eu suponho que eles têm um elemento invisível, onde eles criam uma seleção de texto via código JavaScript, eCtrl+C aciona o comportamento padrão do navegador, copiando o valor de texto desse nó invisível.