Necesito permitir que solo se ingrese un carácter en las celdas editables de datagridview (todas las demás columnas, las impares, son editables); si el usuario agrega un segundo carácter mientras está en una de estas celdas, el cursor debe moverse a la siguiente celda hacia abajo y colocar ese segundo valor allí (al presionar nuevamente esa tecla se mueve hacia abajo nuevamente, y así sucesivamente). Si está en la parte inferior de la cuadrícula (la fila 12), debería moverse a la fila 0 y también mover dos columnas a la derecha.

Intenté hacer esto:

private void dataGridViewPlatypus_KeyDown(object sender, KeyEventArgs e) {
    var currentCell = dataGridViewPlatypus.CurrentCell;
    int currentCol = currentCell.ColumnIndex;
    int currentRow = currentCell.RowIndex;
    if (currentCell.Value.ToString().Length > 0) {
        if (currentRow < 11) {
            dataGridViewPlatypus.CurrentCell.RowIndex = currentRow+1;
        } else if (currentRow == 11) {
            currentCell.RowIndex = 0;
            currentCell.ColumnIndex = currentCell.ColumnIndex + 2;
            dataGridViewPlatypus.CurrentCell = currentCell;
        }
    }
}

... pero obtengo mensajes de error a los que RowIndex y ColumnIndex no se pueden asignar, ya que son de solo lectura.

Entonces, ¿cómo puedo lograr esto?

Advertencia: sé que también tendré que agregar lógica para mover a la columna 1 si actualmente se encuentra en la parte inferior de la última columna editable.

ACTUALIZAR

Por la respuesta de Tergiver, esto es lo que tengo hasta ahora, pero no sé cómo avanzar a la siguiente celda.

protected override bool ProcessCmdKey(ref Message msg, Keys keyData) {
    if (this.ActiveControl == dataGridViewPlatypus)
    {
        var currentCell = dataGridViewPlatypus.CurrentCell;
        if (currentCell.Value.ToString().Length == 1) 
        {
            ;//Now what?
        }
    }
    return base.ProcessCmdKey(ref msg, keyData);
}

ACTUALIZACIÓN 2

Gracias a todos; esto es lo que estoy usando para que funcione bastante (aún quiero poder permitir que el usuario simplemente mantenga presionada la tecla y que ese valor se ingrese continuamente en las siguientes celdas):

private void dataGridViewPlatypus_EditingControlShowing(object sender, DataGridViewEditingControlShowingEventArgs e) {
    int columnIndex = (((DataGridView)(sender)).CurrentCell.ColumnIndex);
    if (columnIndex % 2 == 1) {
        e.Control.KeyDown -= TextboxNumeric_KeyDown;
        e.Control.KeyDown += TextboxNumeric_KeyDown;
        e.Control.KeyUp -= TextboxNumeric_KeyUp;
        e.Control.KeyUp += TextboxNumeric_KeyUp;
    }
}

private void TextboxNumeric_KeyDown(object sender, KeyEventArgs e) {
    var tb = sender as TextBox;
    if (tb != null) {
        tb.MaxLength = 1;
    }
}

// TODO: Now need to find a way to be able to just press down once
private void TextboxNumeric_KeyUp(object sender, KeyEventArgs e) {
    var tb = sender as TextBox;
    if (tb != null && tb.TextLength >= 1) {
        if (dataGridViewPlatypus.CurrentCell.RowIndex != dataGridViewPlatypus.Rows.Count - 1) {
            dataGridViewPlatypus.CurrentCell = dataGridViewPlatypus[
                dataGridViewPlatypus.CurrentCell.ColumnIndex,
                dataGridViewPlatypus.CurrentCell.RowIndex + 1];
        } else { // on last row
            this.dataGridViewPlatypus.CurrentCell = this.dataGridViewPlatypus.CurrentCell.ColumnIndex !=    dataGridViewPlatypus.Columns.Count - 1 ? this.dataGridViewPlatypus[this.dataGridViewPlatypus.CurrentCell.ColumnIndex    + 2, 0] : this.dataGridViewPlatypus[1, 0];
        }
    }
}