¿Cómo enfocarse en las aplicaciones detrás de la ventana JavaFX al hacer clic en áreas transparentes?

Estoy creando una etapa JavaFX con StageStyle.TRANSPARENT para poder personalizar completamente la ventana. He creado mi propio efecto de sombra alrededor del borde de mi ventana (verenlazar) para imitar la sombra alrededor de las ventanas de aplicaciones predeterminadas en OS X / Win7.

Sin embargo, cuando un usuario hace clic en la sombra alrededor del borde, la etapa JavaFX se enfocará, lo cual es comprensible ya que la sombra está dentro de los límites de la etapa JavaFX. ¿Hay alguna manera de hacer clic en la parte de la sombra para "hacer clic" y enfocarse en la aplicación / icono detrás de la ventana de JavaFX? (La transparencia del mouse no ayudará para esto).

Básicamente, cuando hago clic donde apunta la flecha en la imagen a continuación, quiero centrarme en el editor de texto detrás de la etapa JavaFX.

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