Tar un directorio, pero no almacena rutas absolutas completas en el archivo

Tengo el siguiente comando en la parte de un script de shell de copia de seguridad:

tar -cjf site1.bz2 /var/www/site1/

Cuando enumero los contenidos del archivo, obtengo:

tar -tf site1.bz2
var/www/site1/style.css
var/www/site1/index.html
var/www/site1/page2.html
var/www/site1/page3.html
var/www/site1/images/img1.png
var/www/site1/images/img2.png
var/www/site1/subdir/index.html

Pero me gustaría quitar la pieza./var/www/site1 desde el directorio y los nombres de archivos dentro del archivo, para simplificar la extracción y evitar una estructura de directorio constante e inútil. Nunca se sabe, en caso de que extraiga sitios web respaldados en un lugar donde los datos web no se almacenan en/var/www.

Para el ejemplo anterior, me gustaría tener:

tar -tf site1.bz2
style.css
index.html
page2.html
page3.html
images/img1.png
images/img2.png
subdir/index.html

Entonces, cuando extraigo, los archivos se extraen en el directorio actual y no necesito mover los archivos extraídos posteriormente, y así se preservan las estructuras de los sub-directorios.

Ya hay muchas preguntas sobre tar y copias de seguridad enstackoverflow y en otros lugares de la web, pero la mayoría de ellos solicitan eliminar toda la estructura del subdirectorio (aplanamiento), o simplemente agregar o eliminar la inicial / en los nombres (no sé qué cambia exactamente cuando se extrae), pero no más.

Después de leer algunas de las soluciones encontradas aquí y allá, así como el manual, probé:

tar -cjf site1.bz2 -C . /var/www/site1/
tar -cjf site1.bz2 -C / /var/www/site1/
tar -cjf site1.bz2 -C /var/www/site1/ /var/www/site1/
tar -cjf site1.bz2 --strip-components=3 /var/www/site1/

Pero ninguno de ellos funcionó como yo quiero. Algunos no hacen nada, otros no archivan subdirectorios.

Está dentro de un script de shell de copia de seguridad lanzado por un cron, por lo que no sé bien qué usuario lo ejecuta, cuál es la ruta y el directorio actual, por lo que siempre es necesario escribir la ruta absoluta para todo, y preferiría no cambiar el directorio actual para evitar romper algo más en el script (porque no solo realiza copias de seguridad de sitios web, sino también de bases de datos, luego envía todo eso a FTP, etc.)

¿Cómo lograr esto?

¿Acaso no he entendido bien cómo funciona la opción -C?

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