Вот простой и короткий метод

олучает значение того, что выбрано в моем выпадающем меню.

document.getElementById('newSkill').value

Однако я не могу узнать, какое свойство нужно искать для текста, который в данный момент отображается в раскрывающемся меню. Я попробовал "текст", затем посмотрел наW3Schools но у этого не было ответа, кто-нибудь здесь знает?

Для тех, кто не уверен, вот HTML-код для выпадающего списка.

<select name="newSkill" id="newSkill">
    <option value="1">A skill</option>
    <option value="2">Another skill</option>
    <option value="3">Yet another skill</option>
</select>

Ответы на вопрос(3)

Ваш ответ на вопрос