У меня есть это в маршрутах:

Rails.application.routes.draw do
  namespace :api do
    namespace :v3_4 do
      # .....

И контроллерapp/controllers/api/v3_4/base_controller

module Api
  module V3_4
    class BaseController < ApplicationController
      # ......
    end
  end
end

А такжеapp/controllers/api/v3_4/another_controller

module Api
  module V3_4
    class AnotherController < ApplicationController

    end
  end

end

Рейк-маршруты:

          Prefix Verb        URI Pattern                     Controller#Action
   api_v3_4_test GET         /api/v3_4/test(.:format)        api/v3_4/base#test
 api_v3_4_one GET|OPTIONS /api/v3_4/one(.:format)      api/v3_4/another#one
        api_v3_4 GET|OPTIONS /api/v3_4/two/:id(.:format)  api/v3_4/another#two

И все же за этот запрос я получаюRouting Error Uninit Constant uninitialized constant Api::V34

Обратите внимание, что в сообщении об ошибке нет подчеркивания. Но в моем проекте нет линии V34 вообще, ни v34, только v3_4 и V3_4