Вычисление свертки двух функций с использованием FFT (FFTW)

Я пытаюсь ускорить вычисления для нейронного симулятора с использованием БПФ.

Уравнение:

(1) \ сумма (от j = 1 до N) (w (i-j) * s_NMDA [j])

где s_NMDA - вектор длины N, а w определяется как:

(2) w (j) = tanh [1 / (2 * сигма * p)] * exp (-abs (j) / (сигма * p)]

где сигма и р постоянные.

(Есть ли лучший способ визуализации уравнений на стеке потока?)

Расчет должен быть сделан для N нейронов. Поскольку (1) зависит только от абсолютного расстояния abs (i - j), его можно рассчитать с использованием БПФ (теорема свертки).

Я пытался реализовать это с использованием FFTW, но результаты не совпадают с ожидаемыми. Я никогда не использовал FFTW раньше, и теперь я не уверен, что моя реализация неверна, если мои предположения о теореме о свертке неверны.

void f_I_NMDA_FFT(
    const double     **states, // states[i][6] == s_NMDA[i]
    const unsigned int numNeurons)
{
    fftw_complex *distances, *sNMDAs, *convolution;
    fftw_complex *distances_f, *sNMDAs_f, *convolution_f;
    fftw_plan     p, pinv;
    const double scale = 1./numNeurons;

        distances = (fftw_complex *)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * numNeurons);
        sNMDAs    = (fftw_complex *)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * numNeurons);
        convolution = (fftw_complex *)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * numNeurons);
        distances_f = (fftw_complex *)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * numNeurons);
        sNMDAs_f    = (fftw_complex *)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * numNeurons);
        convolution_f    = (fftw_complex *)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * numNeurons);

        // fill input array for distances  
    for (unsigned int i = 0; i < numNeurons; ++i)
    {
        distances[i][0] = w(i);
        distances[i][1] = 0;
    }

        // fill input array for sNMDAs
    for (unsigned int i = 0; i < numNeurons; ++i)
    {
        sNMDAs[i][0] = states[i][6];
        sNMDAs[i][1] = 0;
    }

    p = fftw_plan_dft_1d(numNeurons,
                         distances,
                         distances_f,
                         FFTW_FORWARD,
                         FFTW_ESTIMATE);
    fftw_execute(p);

    p = fftw_plan_dft_1d(numNeurons,
                         sNMDAs,
                         sNMDAs_f,
                         FFTW_FORWARD,
                         FFTW_ESTIMATE);
    fftw_execute(p);

    // convolution in frequency domain
    for(unsigned int i = 0; i < numNeurons; ++i)
    {
        convolution_f[i][0] = (distances_f[i][0] * sNMDAs_f[i][0]
            - distances_f[i][1] * sNMDAs_f[i][1]) * scale;
        convolution_f[i][1] = (distances_f[i][0] * sNMDAs_f[i][1]
            - distances_f[i][1] * sNMDAs_f[i][0]) * scale;
    }

    pinv = fftw_plan_dft_1d(numNeurons,
                            convolution_f,
                            convolution,
                            FFTW_FORWARD,
                            FFTW_ESTIMATE);
    fftw_execute(pinv);

    // compute and compare with expected result
    for (unsigned int i = 0; i < numNeurons; ++i)
    {
            double expected = 0;

            for (int j = 0; j < numNeurons; ++j)
            {
                expected += w(i - j) * states[j][6];
            }
            printf("i=%d, FFT: r%f, i%f : Expected: %f\n", i, convolution[i][0], convolution[i][1], expected);
    }

    fftw_destroy_plan(p);
    fftw_destroy_plan(pinv);

    fftw_free(distances), fftw_free(sNMDAs), fftw_free(convolution);
    fftw_free(distances_f), fftw_free(sNMDAs_f), fftw_free(convolution_f);

Вот пример вывода для 20 нейронов:

i=0, FFT: r0.042309, i0.000000 : Expected: 0.041504
i=1, FFT: r0.042389, i0.000000 : Expected: 0.042639
i=2, FFT: r0.042466, i0.000000 : Expected: 0.043633
i=3, FFT: r0.042543, i0.000000 : Expected: 0.044487
i=4, FFT: r0.041940, i0.000000 : Expected: 0.045203
i=5, FFT: r0.041334, i0.000000 : Expected: 0.045963
i=6, FFT: r0.041405, i0.000000 : Expected: 0.046585
i=7, FFT: r0.041472, i0.000000 : Expected: 0.047070
i=8, FFT: r0.041537, i0.000000 : Expected: 0.047419
i=9, FFT: r0.041600, i0.000000 : Expected: 0.047631
i=10, FFT: r0.041660, i0.000000 : Expected: 0.047708
i=11, FFT: r0.041717, i0.000000 : Expected: 0.047649
i=12, FFT: r0.041773, i0.000000 : Expected: 0.047454
i=13, FFT: r0.041826, i0.000000 : Expected: 0.047123
i=14, FFT: r0.041877, i0.000000 : Expected: 0.046656
i=15, FFT: r0.041926, i0.000000 : Expected: 0.046052
i=16, FFT: r0.041294, i0.000000 : Expected: 0.045310
i=17, FFT: r0.042059, i0.000000 : Expected: 0.044430
i=18, FFT: r0.042144, i0.000000 : Expected: 0.043412
i=19, FFT: r0.042228, i0.000000 : Expected: 0.042253

Результаты кажутся почти правильными, но ошибка увеличивается с числом нейронов. Кроме того, результаты кажутся более точными для позиций (i), которые являются очень низкими или очень высокими. Что здесь происходит?

UpdateКак предложил Оли Чарльзуорт, я реализовал алгоритм в октаве, чтобы увидеть, является ли это реализацией или математической проблемой:

input = [0.186775; 0.186775; 0.186775; 0.186775; 0.186775; 0; 0.186775; 0.186775; 0.186775; 0.186775];

function ret = _w(i)
  ret = tanh(1 / (2* 1 * 32)) * exp(-abs(i) / (1 * 32));
end

for i = linspace(1, 10, 10)
  expected = 0;
  for j = linspace(1, 10, 10)
    expected += _w(i-j) * input(j);
  end
  expected
end

distances = _w(transpose(linspace(0, 9, 10)));

input_f = fft(input);
distances_f = fft(distances);

convolution_f = input_f .* distances_f;

convolution = ifft(convolution_f)

Результаты:

expected =  0.022959
expected =  0.023506
expected =  0.023893
expected =  0.024121
expected =  0.024190
expected =  0.024100
expected =  0.024034
expected =  0.023808
expected =  0.023424
expected =  0.022880
convolution =

   0.022959
   0.023036
   0.023111
   0.023183
   0.023253
   0.022537
   0.022627
   0.022714
   0.022798
   0.022880

Результаты очень похожи. Следовательно, должно быть что-то не так с моим пониманием теоремы свертки / БПФ.

Ответы на вопрос(2)

Ваш ответ на вопрос