WebView com certificado de cliente SSL no Android 4 ICS

Eu tenho um problema com o WebView nativo no Android. Eu preciso autenticar com um site usando um certificado de cliente SSL. O Android WebView não parece apoiar isso. Como solução alternativa, usei uma versão modificada do WebView:

https://github.com/yonekawa/webview-with-client-certificate

O WebView modificado funciona injetando um SslSocketFactory adequadamente configurado no Android WebView padrão. Isso funciona bem em dispositivos Android 2.x. No entanto, com o Android 4 ICS, não funciona mais. O SslSocketFactory ainda está lá no ICS, no entanto, parece que não é mais usado.

Então, minha pergunta é: alguém conseguiu configurar o Android WebView no ICS para que ele funcione com um certificado de cliente? Ou existe alguma alternativa?

O que eu já tentei:

importando o certificado do cliente SSL para o keystore do Android e usando apenas o WebView sem qualquer modificação. Isso não funciona, o certificado do cliente não é enviado junto com as solicitações. Funciona no navegador nativo, no entanto.

criando a conexão SSL me usando HttpClient, obtendo o HTML do site e entregando-o para o WebView. Isso basicamente funciona, mas eu preciso interceptar todos os pedidos feitos pelo WebView e lidar com eles sozinho. No entanto, o WebView não fornece os dados de solicitações POST, o que torna essa abordagem inutilizável para mim.

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