Como alterar as setas de seleção do bootstrap para glyphicon?

Eu quero alcançar algo parecido com isto, exceto que a seta deve ser um ícone de glyphicon de inicialização:

Realmente não sei como fazer isso usando o bootstrap. Eu estava tentando fazer isso assim:

<div class="my-select">
  <div class="select-side">
    <i class="glyphicon glyphicon-menu-down"></i>
  </div>
  <select class="form-control" id="sel1">
    <option>1</option>
    <option>2</option>
    <option>3</option>
  </select>
</div>

configurando o lado de seleção como absoluto no meu-seleto e manipulá-lo, mas por mais que eu tente, não consigo encaixar essa div azul com borda sob a seleção inteira. E quando você clica nessa seta - ela não funciona.

O único problema que tenho agora é que clicar em div do lado selecionado não abrirá o painel.

EDIT2: Problema resolvido, DEMO DE TRABALHO:

http://codepen.io/Deathgazeroo/pen/wWWMqJ

questionAnswers(2)

yourAnswerToTheQuestion