Consegui obter o resultado da consulta necessário usando o seguinte sql bruto:

select `person`.`id`, `full_name`, count(actions.user_id) as total
from `persons`
left join `actions`
on `actions`.`person_id` = `persons`.`id` 
and `actions`.`user_id` = $user
where `type` = 'mp' 
group by `persons`.`id`

Mas ainda não consegui fazê-lo funcionar de maneira eloquente.

Com base em respostas semelhantes, tentei funções dentro de->where() ouleftJoin(), mas ocount das ações de cada pessoa ainda não está sendo filtrada por$user. Tal como está:

$query = Person::leftJoin('actions', function($q) use ($user)
        {
            $q->on('actions.person_id', 'persons.id')
                ->where('actions.user_id', $user);
        })
        ->groupBy('persons.id')
        ->where('type', 'foo')
        //->where('actions.user_id', '=', $user)
        ->get(['persons.id', 'full_name', DB::raw('count(actions.id) as total')]);

Pelo menos estou entrandoaproximadamente a direção certa, certo ...?

Se for relevante, oPersons.php modelo tem doisactions relacionamentos:

public function actions()
{
    return $this->hasMany('Action');
}

public function actionsUser($id)
{
    return $this->hasMany('Action')->where('user_id', $id);
}