Dado un escenario donde tenemos múltiples listas de pares de elementos, por ejemplo:

{12,13,14,23,24} {14,15,25} {16,17,25,26,36}

where 12 es un par de elementos '1' y '2' (y, por lo tanto, 21 es equivalente a 12), queremos contar la cantidad de formas en que podemos elegir pares de elementos de cada una de las listas de modo que nosolter elemento se repite. Debe seleccionar uno, y solo un par, de cada lista. El número de elementos en cada lista y el número de listas es arbitrario, pero puede suponer que hay al menos dos listas con al menos un par de elementos por lista. Y los pares están hechos de símbolos de un alfabeto finito, supongamos dígitos [1-9]. Además, una lista no puede contener pares duplicados {12,12} o {12,21} ni puede contener pares simétricos {11}.

Más específicamente, en el ejemplo anterior, si elegimos el par de elementos 14 de la primera lista, entonces la única opción que tenemos para la segunda lista es 25 porque 14 y 15 contienen un '1'. Y, en consecuencia, la única opción de la tercera lista es 36 porque 16 y 17 contienen un '1', y 25 y 26 contienen un '2'.

¿Alguien sabe de uneficient forma de contar las combinaciones totales de pares de elementos sin pasar por cada permutación de opciones y preguntando "¿es esta una selección válida?", ya que las listas pueden contener cientos de pares de elementos?

ACTUALIZA

Después de pasar un tiempo con esto, me di cuenta de que es trivial contar el número de combinaciones cuando ninguna de las listas comparte un par distinto. Sin embargo, tan pronto como se comparte un par distinto entre dos o más listas, la fórmula combinatoria no se aplica.

A partir de ahora, he estado tratando de averiguar si hay una manera (usando matemática combinatoria y no fuerza bruta) para contar el número de combinaciones en las que cada lista tiene los mismos pares de elementos. Por ejemplo

{12,23,34,45,67} {12,23,34,45,67} {12,23,34,45,67}