Quiero hacer una solicitud web desde una de las direcciones IP disponibles en el servidor, así que utilizo esta clase:

public class UseIP
{
    public string IP { get; private set; }

    public UseIP(string IP)
    {
        this.IP = IP;
    }

    public HttpWebRequest CreateWebRequest(Uri uri)
    {
        ServicePoint servicePoint = ServicePointManager.FindServicePoint(uri);
        servicePoint.BindIPEndPointDelegate = new BindIPEndPoint(Bind);
        return WebRequest.Create(uri) as HttpWebRequest;
    }

    private IPEndPoint Bind(ServicePoint servicePoint, IPEndPoint remoteEndPoint, int retryCount)
    {
        IPAddress address = IPAddress.Parse(this.IP);
        return new IPEndPoint(address, 0);
    }
}

Luego

UseIP useIP = new UseIP("Valid IP address here...");
Uri uri = new Uri("http://ip.nefsc.noaa.gov");
HttpWebRequest request = useIP.CreateWebRequest(uri);
// Then make the request with the specified IP address

Pero la solución funciona la primera vez!