¿Cómo elimino todas las líneas de un archivo que comienzan después de una línea coincidente?

Tengo un archivo que consta de varias líneas de texto:

The first line
The second line
The third line
The fourth line

Tengo una cadena que es una de las líneas:The second line

Quiero eliminar la cadena y todas las líneas después del archivo, por lo que eliminaráThe third line yThe fourth line además de la cadena. El archivo se convertiría en:

The first line

He buscado una solución en google, y parece que debería usarsed. Algo como

sed 'linenum,$d' file

¿Pero cómo encontrar el número de línea de la cadena? O, ¿de qué otra forma debería hacerlo?

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