Calcule las medias de las filas basándose en nombres de columnas (parciales) coincidentes

Estoy empezando con 3 tablas de datos grandes (llamadas A1, A2, A3). Cada tabla tiene 4 columnas de datos (V1-V4), 1 columna "Fecha" que es constante en las tres tablas y miles de filas.

Aquí hay algunos datos ficticios que se aproximan a mis tablas.

A1.V1<-c(1,2,3,4)
A1.V2<-c(2,4,6,8)
A1.V3<-c(1,3,5,7)
A1.V4<-c(1,2,3,4)


A2.V1<-c(1,2,3,4)
A2.V2<-c(2,4,6,8)
A2.V3<-c(1,3,5,7)
A2.V4<-c(1,2,3,4)


A3.V1<-c(1,2,3,4)
A3.V2<-c(2,4,6,8)
A3.V3<-c(1,3,5,7)
A3.V4<-c(1,2,3,4)

Date<-c(2001,2002,2003,2004)

DF<-data.frame(Date, A1.V1,A1.V2,A1.V3,A1.V4,A2.V1,A2.V2,A2.V3,A2.V4,A3.V1,A3.V2,A3.V3,A3.V4)

Así que esto es lo que mi marco de datos termina pareciendo:

  Date A1.V1 A1.V2 A1.V3 A1.V4 A2.V1 A2.V2 A2.V3 A2.V4 A3.V1 A3.V2 A3.V3 A3.V4
1 2001     1     2     1     1     1     2     1     1     1     2     1     1
2 2002     2     4     3     2     2     4     3     2     2     4     3     2
3 2003     3     6     5     3     3     6     5     3     3     6     5     3
4 2004     4     8     7     4     4     8     7     4     4     8     7     4

Mi objetivo es calcular la media de la fila para cada una de las columnas coincidentes de cada tabla de datos. Por lo tanto, en este caso, querría que la fila signifique todas las columnas que terminen en V1, todas las columnas que terminen en V2, todas las columnas que terminen en V3 y todas las columnas que terminen en V4.

El resultado final se vería así.

      V1  V2  V3  V4
2001   1   2   1   1
2002   2   4   3   2
2003   3   6   5   3
2004   4   8   7   4

Entonces, mi pregunta es, ¿cómo hago para calcular los promedios de las filas en función de una coincidencia parcial en el nombre de la columna?

Gracias

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