O que significa "Tipos incompatíveis: void não pode ser convertido em ..."?

O que a mensagem de compilação Java:

"Incompatible types: void cannot be converted to ..." 

quer dizer, e como faço para corrigir isso. Alguns compiladores usam palavras diferentes; por exemplo.

"Type mismatch: cannot convert from void to ..."

(O objetivo é ser uma sessão de perguntas e respostas canônicas para uma mensagem de erro de compilação muito específica envolvendo "void" que confunde os novos programadores Java. Não se destina a ser um tutorial sobre os vários problemas diferentes de "conversão de tipo" que podem ser encontrados em Java. )

questionAnswers(1)

yourAnswerToTheQuestion