Vi que há uma pergunta semelhante aqui:

Ajustar a altura do cabeçalho do painel no painel brilhante

mas não tenho reputação de comentar a resposta dada.

A solução dada a esta resposta funcionará no caso em que desejo expandir o tamanho do cabeçalho. No entanto, quando reduzo o tamanho para 20 pixels, isso altera apenas a altura da seção de título do cabeçalho, gostaria de reduzir a altura de toda a barra de cabeçalho no painel brilhante. Isso é possível ?

Aqui está um exemplo usando a solução para a pergunta mencionada:

library(shiny)
library(shinydashboard)

ui <- dashboardPage(
  dashboardHeader(
    # Set height of dashboardHeader
    tags$li(class = "dropdown",
            tags$style(".main-header {max-height: 20px}"),
            tags$style(".main-header .logo {height: 20px}")
    ) 
  ),
   dashboardSidebar(
    # Adjust the sidebar
    tags$style(".left-side, .main-sidebar {padding-top: 20px}")
  ),
  dashboardBody()
)

server <- function(input, output){}

shinyApp(ui, server)