Considere o seguinte exemplo.

var obj = function(){};

function apply(target, obj) {

    if (target && obj && typeof obj == "object") {
        for (var prop in obj) {
            target[prop] = obj[prop];
        }
    }

    return target;
}

apply(obj.prototype, {
    firstFunction: function (){
        this.secondFunction();
    },
    secondFunction: function (){
        // how do I know what function called me here?
        console.log("Callee Name: '" + arguments.callee.name + "'");
        console.log("Caller Name: '" + arguments.callee.caller.name + "'");
    }
});

var instance = new obj();

instance.firstFunction();

ATUALIZAR

Ambas as respostas são realmente impressionantes. Obrigado. Então, examinei o problema de chamar uma função recursiva ou parent em um objeto e encontrei uma solução aqui. Isso permitiria que eu recuperasse o nome da função sem usar as propriedades arguments.callee / caller.

https://developer.mozilla.org/pt-BR/docs/JavaScript/Reference/Operators/function