Determinando uma matriz de transformação afim homogênea a partir de seis pontos em 3D usando Python

Question

Dec 18, 2014, 12:58 PM

python coordinate-systems homogenous-transformation linear-algebra coordinate-transformation

Determinando uma matriz de transformação afim homogênea a partir de seis pontos em 3D usando Python

Recebi três localizações:

p1 = [1.0, 1.0, 1.0]
p2 = [1.0, 2.0, 1.0]
p3 = [1.0, 1.0, 2.0]

e suas contrapartes transformadas:

p1_prime = [2.414213562373094,  5.732050807568877, 0.7320508075688767]
p2_prime = [2.7677669529663684, 6.665063509461097, 0.6650635094610956]
p3_prime = [2.7677669529663675, 5.665063509461096, 1.6650635094610962]

A matriz de transformação afim é da forma

trans_mat = np.array([[…, …, …, …],
                      […, …, …, …],
                      […, …, …, …],
                      […, …, …, …]])

tal que com

import numpy as np

def transform_pt(point, trans_mat):
    a  = np.array([point[0], point[1], point[2], 1])
    ap = np.dot(a, trans_mat)[:3]
    return [ap[0], ap[1], ap[2]]

você obteria:

transform_pt(p1, trans_mat) == p1_prime
transform_pt(p2, trans_mat) == p2_prime
transform_pt(p3, trans_mat) == p3_prime

Assumindo que a transformação é homogênea (consiste apenas de rotações e translações), como posso determinar essa matriz de transformação?

Em um programa CAD, eu sei que a matriz é:

trans_mat = np.array([[0.866025403784, -0.353553390593, -0.353553390593, 0],
                      [0.353553390593,  0.933012701892, -0.066987298108, 0],
                      [0.353553390593, -0.066987298108,  0.933012701892, 0],
                      [0.841081377402,  5.219578794378,  0.219578794378, 1]])

Eu gostaria de saber como isso pode ser encontrado.