Eu escrevi uma classe BigInteger em C ++ que deve poder executar operações em todos os números com qualquer tamanho. Atualmente, estou tentando obter um método de multiplicação muito rápido, comparando os algoritmos existentes e testando a quantidade de dígitos que eles funcionam melhor e encontrei resultados muito inesperados. Tentei fazer 20 multiplicações de 500 dígitos e cronometrei-as. Este foi o resultado:

karatsuba:
  14.178 seconds

long multiplication:
  0.879 seconds

Wikipedia me disse

Daqui resulta que, para n suficientemente grande, o algoritmo de Karatsuba executará menos mudanças e acréscimos de um dígito do que a multiplicação à mão, mesmo que sua etapa básica use mais adições e mudanças do que a fórmula direta. Para valores pequenos de n, no entanto, as operações extras de deslocamento e adição podem torná-lo mais lento que o método de mão longa. O ponto de retorno positivo depende da plataforma e do contexto do computador. Como regra geral, o Karatsuba geralmente é mais rápido quando os multiplicandos são maiores que 320–640 bits.

Como meus números têm pelo menos 1500 bits de comprimento, isso é bastante inesperado, pois a Wikipedia disse que o karatsuba deveria correr mais rápido. Acredito que meu problema possa estar no meu algoritmo de adição, mas não vejo como poderia torná-lo mais rápido porque ele já está sendo executado em O (n). Vou postar meu código abaixo para que você possa verificar minhas implementações. Vou deixar as partes irrelevantes fora disso.
Eu também estava pensando que talvez a estrutura que eu usei não fosse a melhor possível. Eu representei cada segmento de dados em little endian. Por exemplo, se eu tiver o número 123456789101112 armazenado em segmentos de dados de comprimento 3, ficaria assim:

{112.101.789.456.123}

é por isso que estou perguntando agora qual é a melhor estrutura e a melhor maneira de implementar uma classe BigInteger? E por que o algoritmo karatsuba é mais lento que o da multiplicação longa?

Este é o meu código: (desculpe pelo comprimento)

using namespace std;

bool __longmult=true;
bool __karatsuba=false;

struct BigInt {
public:
    vector <int> digits;

    BigInt(const char * number) {
        //constructor is not relevant   
    }
    BigInt() {}

    void BigInt::operator = (BigInt a) {
        digits=a.digits;
    }

    friend BigInt operator + (BigInt,BigInt);
    friend BigInt operator * (BigInt,BigInt);

    friend ostream& operator << (ostream&,BigInt);
};

BigInt operator + (BigInt a,BigInt b) {
    if (b.digits.size()>a.digits.size()) {
        a.digits.swap(b.digits); //make sure a has more or equal amount of digits than b
    }
    int carry=0;

    for (unsigned int i=0;i<a.digits.size();i++) {
        int sum;
        if (i<b.digits.size()) {
            sum=b.digits[i]+a.digits[i]+carry;
        } else if (carry==1) {
            sum=a.digits[i]+carry;
        } else {
            break; // if carry is 0 and no more digits in b are left then we are done already
        }

        if (sum>=1000000000) {
            a.digits[i]=sum-1000000000;
            carry=1;
        } else {
            a.digits[i]=sum;
            carry=0;
        }
    }

    if (carry) {
        a.digits.push_back(1);
    }

    return a;
}

BigInt operator * (BigInt a,BigInt b) {
    if (__longmult) {
        BigInt res;
        for (unsigned int i=0;i<b.digits.size();i++) {
            BigInt temp;
            temp.digits.insert(temp.digits.end(),i,0); //shift to left for i 'digits'

            int carry=0;
            for (unsigned int j=0;j<a.digits.size();j++) {
                long long prod=b.digits[i];
                prod*=a.digits[j];
                prod+=carry;
                int t=prod%1000000000;
                temp.digits.push_back(t);
                carry=(prod-t)/1000000000;
            }
            if (carry>0) {
                temp.digits.push_back(carry);
            }
            res+=temp;
        }
        return res;
    } else if (__karatsuba) {
        BigInt res;
        BigInt a1,a0,b1,b0;
        assert(a.digits.size()>0 && b.digits.size()>0);
        while (a.digits.size()!=b.digits.size()) { //add zeroes for equal size
            if (a.digits.size()>b.digits.size()) {
                b.digits.push_back(0);
            } else {
                a.digits.push_back(0);
            }
        }

        if (a.digits.size()==1) {
            long long prod=a.digits[0];
            prod*=b.digits[0];

            res=prod;//conversion from long long to BigInt runs in constant time
            return res;

        } else {
            for (unsigned int i=0;i<a.digits.size();i++) {
                if (i<(a.digits.size()+(a.digits.size()&1))/2) { //split the number in 2 equal parts
                    a0.digits.push_back(a.digits[i]);
                    b0.digits.push_back(b.digits[i]);
                } else {
                    a1.digits.push_back(a.digits[i]);
                    b1.digits.push_back(b.digits[i]);
                }
            }
        }

        BigInt z2=a1*b1;
        BigInt z0=a0*b0;
        BigInt z1 = (a1 + a0)*(b1 + b0) - z2 - z0;

        if (z2==0 && z1==0) {
            res=z0;
        } else if (z2==0) {
            z1.digits.insert(z1.digits.begin(),a0.digits.size(),0);
            res=z1+z0;
        } else {
            z1.digits.insert(z1.digits.begin(),a0.digits.size(),0);
            z2.digits.insert(z2.digits.begin(),2*a0.digits.size(),0);
            res=z2+z1+z0;
        }

        return res;
    }
}

int main() {
    clock_t start, end;

    BigInt a("984561231354629875468546546534125215534125215634987498548489456125215421563498749854848945612385663498749854848945612521542156349874985484894561238561698774565123165221393856169877456512316552156349874985484894561238561698774565123165221392213935215634987498548489456123856169877456512316522139521563498749854848945612385616987745651231652213949651465123151354686324848945612385616987745651231652213949651465123151354684132319321005482265341252156349874985484894561252154215634987498548489456123856264596162131");
    BigInt b("453412521563498749853412521563498749854848945612521542156349874985484894561238565484894561252154215634987498548489456123856848945612385616935462987546854521563498749854848945653412521563498749854848945612521542156349874985484894561238561238754579785616987745651231652213965465341235215634987495215634987498548489456123856169877456512316522139854848774565123165223546298754685465465341235215634987498548354629875468546546534123521563498749854844139496514651231513546298754685465465341235215634987498548435468");

    __longmult=false;
    __karatsuba=true;

    start=clock();
    for (int i=0;i<20;i++) {
        a*b;
    }
    end=clock();
    printf("\nTook %f seconds\n", (double)(end-start)/CLOCKS_PER_SEC);

    __longmult=true;
    __karatsuba=false;

    start=clock();
    for (int i=0;i<20;i++) {
        a*b;
    }
    end=clock();
    printf("\nTook %f seconds\n", (double)(end-start)/CLOCKS_PER_SEC);

    return 0;
}