Minha intenção é mudar o comportamento do== método emString chamarequalsIgnoreCase.

Este código

implicit class LowerCase(s: String) {
      override def ==(that: LowerCase) = that.equalsIgnoreCase(this)
}

resulta neste erro

error: type mismatch;
 found   : MyClass.LowerCase
 required: String
      override def ==(that: String) = that.equalsIgnoreCase(this)