variável de shell em um grep regex

Eu estou tentando usar uma variável em um regex grep. Vou postar um exemplo da falha e talvez alguém possa sugerir como fazer com que a variável seja avaliada durante a execução do comando grep. eu tentei${var} também.

$ string="test this"
$ var="test"
$ echo $string | grep '^$var'
$ 

Como o meu regex deve coincidir com linhas que começam com "test", ele deve imprimir a linha ecoada por ele.

$ echo $string
test this
$