Tengo dos implementaciones de Fibonacci, que se muestran a continuación, que quiero demostrar que son funcionalmente equivalentes.

Ya he demostrado propiedades sobre los números naturales, pero este ejercicio requiere otro enfoque que no puedo entender.

El libro de texto que estoy usando ha introducido la siguiente sintaxis de Coq, por lo que debería ser posible demostrar la igualdad usando esta notación:

<definition> ::= <keyword> <identifier> : <statement> <proof>

<keyword> ::= Proposition | Lemma | Theorem | Corollary

<statement> ::= {<quantifier>,}* <expression>

<quantifier> ::= forall {<identifier>}+ : <type>
               | forall {({<identifier>}+ : <type>)}+

<proof> ::= Proof. {<tactic>.}* <end-of-proof>

<end-of-proof> ::= Qed. | Admitted. | Abort.

Aquí están las dos implementaciones:

Fixpoint fib_v1 (n : nat) : nat :=
  match n with
  | 0 => O
  | S n' => match n' with
            | O => 1
            | S n'' => (fib_v1 n') + (fib_v1 n'')
            end
  end.

Fixpoint visit_fib_v2 (n a1 a2 : nat) : nat :=
  match n with
  | 0 => a1
  | S n' => visit_fib_v2 n' a2 (a1 + a2)
  end.

Es bastante obvio que estas funciones calculan el mismo valor para el caso basen = 0, pero el caso de inducción es mucho más difícil?

He intentado probar el siguiente Lemma, pero estoy atrapado en un caso de inducción:

Lemma about_visit_fib_v2 :
  forall i j : nat,
    visit_fib_v2 i (fib_v1 (S j)) ((fib_v1 j) + (fib_v1 (S j))) = (fib_v1 (add_v1 i (S j))).
Proof.
  induction i as [| i' IHi'].

  intro j.
  rewrite -> (unfold_visit_fib_v2_0 (fib_v1 (S j)) ((fib_v1 j) + (fib_v1 (S j)))).
  rewrite -> (add_v1_0_n (S j)).
  reflexivity.

  intro j.
  rewrite -> (unfold_visit_fib_v2_S i' (fib_v1 (S j)) ((fib_v1 j) + (fib_v1 (S j)))).

 Admitted.

Dónde:

Fixpoint add_v1 (i j : nat) : nat :=
  match i with
  | O => j
  | S i' => S (add_v1 i' j)
  end.