Sé que con la nueva API Fetch (utilizada aquí con ES2017'sasync/await) puede hacer una solicitud GET como esta:

async getData() {
    try {
        let response = await fetch('https://example.com/api');
        let responseJson = await response.json();
        console.log(responseJson);
    } catch(error) {
        console.error(error);
    }
}

Pero, ¿cómo hacer una solicitud POST?