¿El ejemplo más simple de jQuery, PHP, AJAX y sqlite?

Me está costando mucho entender cómo funciona todo esto en conjunto. He jugado algunos días con esto y no he podido encontrar ningún resultado. Estoy tratando de completar un campo de texto en un formulario, y cuando se envía el formulario, quiero agregar el texto a mi sqlite db usando ajax.

Entiendo que necesita una llamada $ .get en jquery que se activa en el envío del formulario. Eso parece funcionar bien, ya que puedo activar cuadros de alerta js desde allí. Sin embargo, cuando paso la dirección del script php que tiene líneas para agregar al sqlite db usando PDO, no se agrega nada al db. Sin embargo, cuando ejecuto este script php usando php cli, algo se agregará a la base de datos.

Parece que me falta un paso esencial aquí. ¡Realmente lo agradecería si alguien pudiera cerrar esta brecha para mí!

Editar: según lo solicitado por Martin, aquí hay un código:

Mi php genera una lista como esta con un formulario en el medio:

<ul>
    <li>hello</li>
    <li id="formItem">
        <form action="" method="post">
            <input type=text name="content"/>
        </form>
    </li>
    <li>world</li>
</ul>

Luego, mi código jquery busca agregar lo que esté en el cuadro de texto justo encima de él en la lista que hace una llamada ajax. Esto está dentro de un $ (documento) .ready (function () {.

 $("form").submit(function() {
    var inputText = $("input").val();
    $.ajax({
        type: "POST",
        url: "add.php",
        data: inputText,
        success: function() {
            $('#formItem').prev().after(
                "<li>" + inputText + "</li>"
            )}
    });
});

Mi archivo add.php tiene este aspecto e insertará algo en mi base de datos si ejecuto el script php en el cli:

<?php 
$base = new PDO('sqlite:todo.db');
$sql = $base->prepare("INSERT INTO ThisTable (content, priority) VALUES ('lolololol', 1);");
$sql->execute();
$base = null; 
?>

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