Solo estoy aprendiendo MySQL: ¿hay alguna forma de combinar (o anidar) funciones agregadas?

Dada una consulta:

SELECT user, count(answer) FROM surveyValues WHERE study='a1' GROUP BY user;

Esto me dará la cantidad de preguntas respondidas por cada usuario. Lo que realmente quiero es el número promedio de preguntas respondidas por usuario ... algo como:

SELECT avg(count(answer)) FROM surveyValues WHERE study='a1';

¿Cuál es la forma correcta de calcular esta estadística?

Si esto es posible, ¿hay alguna manera de desglosar esta estadística para cada pregunta? (los usuarios pueden responder la misma pregunta varias veces). Algo como:

SELECT avg(count(answer)) FROM surveyValues WHERE study='a1' GROUP BY question;