aquí es el código proporcionado por la guía oficial, mientras que este es un fragmento que causa problemas.

@Override
public void onConnectionFailed(ConnectionResult result) {
    if (mResolvingError) {
        // Already attempting to resolve an error.
        return;
    } else if (result.hasResolution()) {
        try {
            mResolvingError = true;
            result.startResolutionForResult(this, REQUEST_RESOLVE_ERROR);
        } catch (IntentSender.SendIntentException e) {
            // There was an error with the resolution intent. Try again.
            mGoogleApiClient.connect();
        }
    } else {
        // Show dialog using GooglePlayServicesUtil.getErrorDialog()
        mResolvingError = true;
        GooglePlayServicesUtil.getErrorDialog(result.getErrorCode(), this, REQUEST_RESOLVE_ERROR)
                .setOnDismissListener(new DialogInterface.OnDismissListener() {
                    @Override
                    public void onDismiss(DialogInterface dialog) {
                        mResolvingError = false;
                    }
                });
    }
}

Si lo uso en un servicio, cuando lees la variablethis pasado como argumento a esas funciones, esperan un tipo de actividad. ¿Cómo debería hacer? Es un servicio

Por la misma razón no puedo obtener el resultado de la actividad

@Override
protected void onActivityResult(int requestCode, int resultCode, Intent data) {
if (requestCode == REQUEST_RESOLVE_ERROR) {
    mResolvingError = false;
    if (resultCode == RESULT_OK) {
        // Make sure the app is not already connected or attempting to connect
        if (!mGoogleApiClient.isConnecting() &&
                !mGoogleApiClient.isConnected()) {
            mGoogleApiClient.connect();
        }
    }
}
}