¿Cómo declarar y usar variables booleanas en el script de shell?

Intenté declarar una variable booleana en un script de shell utilizando la siguiente sintaxis:

variable=$false

variable=$true

¿Es esto correcto? Además, si quisiera actualizar esa variable, ¿usaría la misma sintaxis? Finalmente, es la siguiente sintaxis para usar variables booleanas como expresiones correctas:

if [ $variable ]

if [ !$variable ]

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