"Aviso: variable indefinida", "Aviso: índice indefinido" y "Aviso: desplazamiento indefinido" utilizando PHP

Estoy ejecutando un script PHP y sigo recibiendo errores como:

Aviso: Variable indefinida: my_variable_name en C: \ wamp \ www \ mypath \ index.php en la línea 10

Aviso: índice indefinido: my_index C: \ wamp \ www \ mypath \ index.php en la línea 11

Las líneas 10 y 11 se ven así:

echo "My variable value is: " . $my_variable_name;
echo "My index value is: " . $my_array["my_index"];

¿Cuál es el significado de estos mensajes de error?

¿Por qué aparecen de repente? Solía usar este script durante años y nunca he tenido ningún problema.

¿Cómo los soluciono?

Esta es una pregunta de referencia general para que las personas se vinculen como duplicados, en lugar de tener que explicar el problema una y otra vez. Creo que esto es necesario porque la mayoría de las respuestas del mundo real sobre este tema son muy específicas.

Meta discusión relacionada:

¿Qué se puede hacer con las preguntas repetitivas?¿Tienen sentido las "preguntas de referencia"?

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